[미적분]삼각함수 sin x / x 의 극한 그래프

보통 위의 극한식을 증명하기 위해 샌드위치 정리를 이용하여 증명을 한다.

 

오늘은 그래프로 어떤 느낌인지 알아볼 예정이다.

 

일단 y = x 그래프와 y = sin x 두개의 그래프를 그려보면 아래와 같다.

 

위에 빨간색 동그라미친 부분을 확대해 보았다. 음..

더 확대를 해보았다.

앗. 두개의 그래프가 거의 구분없이 붙어 버렸다.

 

이렇게 무한대로 계속 확대하다보면은 결국엔 1:1로 되어 극한값은 1이 되는 느낌..

 

그렇다면 두번째 실험 y = x 와 y = sin2x 는 어떤 느낌일까

 

x값이 0으로 한없이 가까이 갈수록 y=sin2x 그래프가 y=x 그래프보다 더 빠른 속도로 0을 향해 변하고 있다.

y=sin2x 그래프가 변하는 속도는 2배일까?

 

좀 더 확대를 해보자

0으로 한없이 가까이 갈수록 y=sin2x 그래프가 y=x 그래프의 보다 2배인 느낌(!)

여기서 y=x 그래프를 y=2x로 바꾸면 두 그래프가 거의 일직선상으로 보인다.

 

물론 현미경으로 들여다 보면 y=2x그래프가 미세하게 위에 있을것이다.

 

암튼 극한의 세계로 들어가게 되면 아래와 같게됨.

다시 정리를 해보면

위에 노란색으로 칠해진 부분이 같다면 1로 수렴한다.

 

 

수학적인 증명은 아래 링크 참조

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-8/v/sinx-over-x-as-x-approaches-0

 

 

참고로 그래프는 아래 사이트에서 생성하였습니다.

https://www.desmos.com/calculator